Нет Вы не можете подключиться к любой базе данных без соответствующего драйвера. Для PostgreSQL 7.3 и более поздних версий вы должны использовать QPSQL. Если вы хотите, вы можете создать свой собственный драйвер базы данных.
Здесь вы можете найти описание всех поддерживаемых драйверов sql для qt и инструкции по созданию нового:
http://doc.qt.io/qt-5/sql-driver.html