Каждый из ваших циклов проходит по каждому элементу li, поэтому, когда вы ищите img в каждой функции, которую вы ищите внутри li:
$(this).children("img").index()
всегда будет возвращать ноль, так как у вас есть только 1 img внутрикаждый li.
Jquery .each уже дает вам индекс, так что вы можете просто проверить его с вашим current_item следующим образом:
$('#ax_campaign_content li').each(function(index) {
if (index == current_item){
scroll_text = $(this).children('img').attr('alt');
$('#ax_campaign_scroller h4').text(scroll_text);
}
});
Отвечая на обновленный комментарий: вы всегда можете перейти коднострочник!
$('#ax_campaign_scroller h4').text(
$('#ax_campaign_content li').eq(current_item).children('img').attr('alt')
);