Если у провайдера нет очень странной настройки, я не думаю, что вы можете. Есть два клиента, которые подключаются к серверу - сначала ваш PHP-код, использующий сертификат клиента, а затем вы ожидаете, что браузер где-нибудь сможет привязаться к тому же сеансу без сертификата клиента? Единственный способ, в котором это имеет смысл, - это если поставщик платежа отправит обратно суррогатный токен аутентификации - и если они это сделают, то предоставят подробную документацию. Очевидно, что это не так.
Несмотря на то, что вы можете передавать данные на свой сервер через прокси, я настоятельно рекомендую вам переключиться на другого провайдера платежей, который обрабатывает весь процесс оплаты за вас.