У вас есть два варианта:
- Линеаризовать систему и вставить строку в журнал данных.
- Использовать нелинейный решатель (например,
scipy.optimize.curve_fit
Первый вариант, безусловно, самый быстрый и надежный. Однако он требует, чтобы вы знали смещение по оси Y априори, иначе невозможно линеаризовать уравнение ((то есть y = A * exp(K * t) может быть линеаризован с помощью подгонки y = log(A * exp(K * t)) = K * t + log(A), но y = A*exp(K*t) + C может быть линеаризован только с помощью подгонки y - C = K*t + log(A), и, поскольку y является вашей независимой переменной, C должна быть заранее известна, чтобы она была линейнойsystem.
Если вы используете нелинейный метод, это а) не гарантирует сходится и дает решение, б) будет гораздо медленнее, в) дает гораздо более плохую оценку неопределенности в ваших параметрах,и d) часто гораздо менее точен.Однако нелинейный метод имеет одно огромное преимущество перед линейной инверсией: он может решать нелинейную систему уравнений.В вашем случае это означает, что вам не нужно заранее знать C.
Просто для примера давайте разберемся для y = A * exp (K * t) с некоторыми зашумленными данными, используя обалинейные и нелинейные методы:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy as sp
import scipy.optimize
def main():
# Actual parameters
A0, K0, C0 = 2.5, -4.0, 2.0
# Generate some data based on these
tmin, tmax = 0, 0.5
num = 20
t = np.linspace(tmin, tmax, num)
y = model_func(t, A0, K0, C0)
# Add noise
noisy_y = y + 0.5 * (np.random.random(num) - 0.5)
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(2,1,1)
ax2 = fig.add_subplot(2,1,2)
# Non-linear Fit
A, K, C = fit_exp_nonlinear(t, noisy_y)
fit_y = model_func(t, A, K, C)
plot(ax1, t, y, noisy_y, fit_y, (A0, K0, C0), (A, K, C0))
ax1.set_title('Non-linear Fit')
# Linear Fit (Note that we have to provide the y-offset ("C") value!!
A, K = fit_exp_linear(t, y, C0)
fit_y = model_func(t, A, K, C0)
plot(ax2, t, y, noisy_y, fit_y, (A0, K0, C0), (A, K, 0))
ax2.set_title('Linear Fit')
plt.show()
def model_func(t, A, K, C):
return A * np.exp(K * t) + C
def fit_exp_linear(t, y, C=0):
y = y - C
y = np.log(y)
K, A_log = np.polyfit(t, y, 1)
A = np.exp(A_log)
return A, K
def fit_exp_nonlinear(t, y):
opt_parms, parm_cov = sp.optimize.curve_fit(model_func, t, y, maxfev=1000)
A, K, C = opt_parms
return A, K, C
def plot(ax, t, y, noisy_y, fit_y, orig_parms, fit_parms):
A0, K0, C0 = orig_parms
A, K, C = fit_parms
ax.plot(t, y, 'k--',
label='Actual Function:\n $y = %0.2f e^{%0.2f t} + %0.2f$' % (A0, K0, C0))
ax.plot(t, fit_y, 'b-',
label='Fitted Function:\n $y = %0.2f e^{%0.2f t} + %0.2f$' % (A, K, C))
ax.plot(t, noisy_y, 'ro')
ax.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.1), fancybox=True, shadow=True)
if __name__ == '__main__':
main()
Обратите внимание, что линейное решение дает результат, намного более близкий к фактическим значениям.Тем не менее, мы должны предоставить значение смещения по y, чтобы использовать линейное решение.Нелинейное решение не требует этого априорного знания.