Учитывая, что вы говорите, что вы задали другое имя для файла cookie в файле web.config, я бы сказал, что вы можете прочитать имя файла cookie оттуда
SessionStateSection sessionStateSection =
(System.Web.Configuration.SessionStateSection)
ConfigurationManager.GetSection("system.web/sessionState");
string cookieName = sessionStateSection.CookieName;