Вы можете использовать WebClient для загрузки страниц:
using (var client = new WebClient())
{
client.DownloadFile("http://foo.com/somefile", @"c:\somefile");
}
Также обратите внимание, что вы предоставили не адрес видеофайла.Это адрес игрока.AFAIK политика запрещает загрузку видеофайлов с YouTube, но если у вас есть адрес видеофайла, просто передайте его методу DownloadFile .