Нахождение оценок для неравенств с 21 переменной

Question

У меня есть следующие неравенства по 21 переменной:

http://pastebin.com/raw.php?i=FTU970Em

Когда я запускаю «Reduce [ineq, Integers]» для этого, Mathematica зависает надолго,

Это имеет смысл: существует МНОЖЕСТВО наборов значений для x [1] .. x [21], которые удовлетворяют неравенствам.

Все, что мне действительно нужно, - это границы для каждой переменной (например, «2 <= x [i] <= 7» для каждого i).</p>

Как я могу получить это эффективно с Mathematica?Есть ли лучшая программа для этого?

Примечание: это часть более крупного проекта:

Частично воссоздать Risk-like игру, основанную на неполных лог-файлах

Весь отвратительныйсписок неравенств: http://pastebin.com/CyX9f70J

Выполнение «Reduce [ineq, Integers]» на вышеприведенном выводит «false», поэтому я, вероятно, неправильно перевел: http://conquerclub.barrycarter.info/ONEOFF/7460216.html

Answer 1

Я второе предложение CLP (FD), данное в другой теме. Использование SWI-Prolog 5.10:

:- use_module(library(clpfd)).

vars([X0,X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14,X15,X16,X17,X18,
      X19,X20,X21]) :-
        X0 #= 3, X1 #>= 1, X1 #=< X0, X2 #>= 1, X2 #=< X1,
        X3 #>= 1, X3 #=< X2, X4 #>= 1, X4 #=< X3, X5 #=< X4 + 3,
        X5 #>= 1, X6 #>= 1, X6 #=< X5, X7 #>= 1, X7 #=< X6,
        X8 #>= 1, X8 #=< X7, X9 #>= 1, X9 #=< X8, X10 #>= 1,
        X10 #=< X9, X11 #>= 1, X11 #=< X10, X12 #>= 1, X12 #=< X11,
        X13 #>= 1, X13 #=< X12, X14 #=< X13 + 4, X14 #>= 1, X15 #>= 1,
        X15 #=< X14, X16 #>= 1, X16 #=< X15, X17 #=< X16 + 6, X17 #>= 1,
        X18 #>= 1, X18 #=< X17, X19 #>= 1, X19 #=< X18, X20 #>= 1,
        X20 #=< X19, X21 #>= 1, X21 #=< X20, X21 #= 1.

Примеры запросов:

?- vars(Vs), maplist(fd_dom, Vs, Ds).
Ds = [3..3, 1..3, 1..3, 1..3, 1..3, 1..6, 1..6, 1..6, ... .. ...|...]

?- vars(Vs), label(Vs).
Vs = [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] ;
Vs = [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1] ;
Vs = [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1] ;
etc.

Answer 2

Уже достаточно поздно, чтобы, вероятно, было несколько плавных сокращений, но это работает ...

    ineq={...};
    pivotAt[set_, j_] := Select[set, And[
            Not[FreeQ[#, x[u_] /; u <= j]],
                FreeQ[#, x[u_] /; u > j]
        ] &]
    triangularize[set_] := Module[{left, i, new},
        left = set;
        Reap[
            For[i = 0, i <= 21, i++,
                new = pivotAt[left, i]; 
                Sow[new];
                left = Complement[left, new];
        ]][[2, 1]]
    ]
    Module[{
        tri,
        workingIntervals,
        partials, increment, i
        },

        tri = triangularize[ineq];

        workingIntervals[set_] := set /. {
            t_ <= c_ :> {t, Interval[{-\[Infinity], Max[c]}]},
            t_ == c_ :> {t, Interval[{Min[c], Max[c]}]},
            t_ >= c_ :> {t, Interval[{Max[c], \[Infinity]}]}};

        partials = {};
        increment[slice_] := 
            Rule[#[[1, 1]], IntervalIntersection @@ #[[All, 2]]] &[
                workingIntervals[slice /. partials ] ];
        For[i = 1, i <= Length[tri], i++,
            partials = Join[partials, {increment[tri[[i]]]}];
        ];
        partials
    ]

Допустимо, что корреляции между переменными («этот высокий означает, что низкий») не учитываются.

- РЕДАКТИРОВАТЬ -

Результат вышеизложенного, конечно,

{x[0] -> Interval[{3, 3}], x[1] -> Interval[{1, 3}], 
 x[2] -> Interval[{1, 3}], x[3] -> Interval[{1, 3}], 
 x[4] -> Interval[{1, 3}], x[5] -> Interval[{1, 6}], 
 x[6] -> Interval[{1, 6}], x[7] -> Interval[{1, 6}], 
 x[8] -> Interval[{1, 6}], x[9] -> Interval[{1, 6}], 
 x[10] -> Interval[{1, 6}], x[11] -> Interval[{1, 6}], 
 x[12] -> Interval[{1, 6}], x[13] -> Interval[{1, 6}], 
 x[14] -> Interval[{1, 10}], x[15] -> Interval[{1, 10}], 
 x[16] -> Interval[{1, 10}], x[17] -> Interval[{1, 16}], 
 x[18] -> Interval[{1, 16}], x[19] -> Interval[{1, 16}], 
 x[20] -> Interval[{1, 16}], x[21] -> Interval[{1, 1}]}

Answer 3

Много ли наборов значений, удовлетворяющих неравенствам?

Я запустил следующие команды через Mathematica:

In[14]:= ineqs = {x0 == 3, x1 >= 1, x1 <= x0, x2 >= 1, x2 <= x1, 
       x3 >= 1, x3 <= x2, x4 >= 1, x4 <= x3, x5 <= x4 + 3, x5 >= 1, 
       x6 >= 1, x6 <= x5, x7 >= 1, x7 <= x6, x8 >= 1, x8 <= x7, x9 >= 1, 
       x9 <= x8, x10 >= 1, x10 <= x9, x11 >= 1, x11 <= x10, x12 >= 1, 
       x12 <= x11, x13 >= 1, x13 <= x12, x14 <= x13 + 4, x14 >= 1, 
       x15 >= 1, x15 <= x14, x16 >= 1, x16 <= x15, x17 <= x16 + 6, 
       x17 >= 1, x18 >= 1, x18 <= x17, x19 >= 1, x19 <= x18, x20 >= 1, 
       x20 <= x19, x21 >= 1, x21 <= x20, x21 == 1};

In[15]:= vars = 
      Union[{x0, x1, x1, x2, x2, x3, x3, x4, x4, x5, x5, x6, x6, x7, x7, 
        x8, x8, x9, x9, x10, x10, x11, x11, x12, x12, x13, x13, x14, x14, 
        x15, x15, x16, x16, x17, x17, x18, x18, x19, x19, x20, x20, x21, 
        x21, x21}];

In[16]:= FindInstance[ineqs, vars]

и получил результат:

Out[16]= {{x0 -> 3, x1 -> 1, x10 -> 1, x11 -> 1, x12 -> 1, x13 -> 1, 
  x14 -> 1, x15 -> 1, x16 -> 1, x17 -> 1, x18 -> 1, x19 -> 1, x2 -> 1,
   x20 -> 1, x21 -> 1, x3 -> 1, x4 -> 1, x5 -> 1, x6 -> 1, x7 -> 1, 
  x8 -> 1, x9 -> 1}}

Я не смог убедить Mathematica предоставить другой набор заданий, и небольшая работа с карандашом и бумагой не указывает мне на другие наборы заданий.Но уже поздно, возможно, я упустил что-то очевидное.

Answer 4

ОК, оказывается, что решить этот конкретный набор уравнений легко, если вы слегка переписываете некоторые из них:

x5 <= x4 + 3 becomes x5 - 3 <= x4 
x6 <= x5 becomes x6 - 3 <= x5 - 3 

и так далее до:

x13 <= x12 becomes x13 - 3 <= x12 - 3 
x14 <= x13 + 4 becomes x14 - 7 <= x13 -3 

делая это, {x0, x1, x2, x3, x4, x5-3, x6-3, ..., x13-3, x14-7, ..., x21} становится строго убывающей последовательностью целых чисел, начиная с 3и заканчивается на 1.

Фактически, любая последовательность с этим свойством работает, так как xi> = 1 выполняется тривиально.

Однако, хотя это работает для решения этого конкретного набора неравенств, в целом оно не работает, поэтому я не считаю его полным решением.