Как я могу заставить php запускать экран GNU и продолжать его работу после завершения выполнения php-скрипта?
Запустите его с -dmS аргументами командной строки, которые заставят его запускаться как демон (то есть: немедленно отсоединиться).
-dmS
Онлайн-документы для аргументов командной строки здесь .
Вы можете попробовать с:
exec("nohup screen -dmS new_name");
Хотя -dmS уже должно быть достаточно для превращения экрана в фоновый процесс.