Поместите JTextArea внутри JScrollPane и поместите его в JPanel с макетом, который фиксирует размер. Например, пример с GridBagLayout может выглядеть так:
JPanel panel = new JPanel();
panel.setLayout(new GridBagLayout());
JScrollPane scrollpane = new JScrollPane();
GridBagConstraints cons = new GridBagContraints();
cons.weightx = 1.0;
cons.weighty = 1.0;
panel.add(scrollPane, cons);
JTextArea textArea = new JTextArea();
scrollPane.add(textArea);
Это только грубый набросок, но он должен проиллюстрировать, как это сделать.