значение натурального логарифма

Question

Я хочу найти значение In (x) без использования функции math.h

Я следую формуле, которую я нашел в своей книге по математике:

log(m) base e = 2[ (m-1/m+1) + (1/3) * (m-1/m+1)^3 + (1/5) * (m-1/m+1)^5 + ... ]

Вот мойкод:

i = 3;
logx = 0 ;
ty = (x-1)/(x+1) ;
do
{
    logx = logx + ty ;
    tty = ty ;
    ty = (ty * ((x-1)/(x+1)) * ((x-1)/(x+1))) / i ;
    i = i + 2 ;
} while(tty - ty > 0.0000005 );
logx = 2*logx ;
printf("\n ln (%g) = %g \n", x, logx);

но это показывает ln(2) = 0.691916 вместо 0.693147 и ln(3) = 1.08765 вместо 1.098612 и т. д. Что не так?

Answer 1

Фактически, что вычисляет OP:

$ 2 \ sum_ {n = 1, n \ text {odd}} ^ \ infty \ frac1 {n !!} \ left (\ frac{m-1} {m + 1} \ right) ^ n = \ sqrt {2 \ pi} \ exp \ left (\ frac12 \ left (\ frac {m-1} {m + 1} \ right) ^ 2\ right) \ operatorname {erf} \ left (\ frac1 {\ sqrt2} \ frac {m-1} {m + 1} \ right) $ http://mathcache.appspot.com/?tex=%5cpng%5c%5b2%5Csum_%7Bn%3D1%2Cn%5Ctext%7B%20odd%7D%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac1%7Bn%21%21%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Bm-1%7D%7Bm%2b1%7D%5Cright%29%5En%20%3D%20%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%20%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac12%5Cleft%28%5Cfrac%7Bm-1%7D%7Bm%2b1%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%29%5Coperatorname%7Berf%7D%5Cleft%28%5Cfrac1%7B%5Csqrt2%7D%5Cfrac%7Bm-1%7D%7Bm%2b1%7D%5Cright%29%5c%5d

вместо

$ 2 \ sum_ {n = 1, n \ text {odd}} ^ \ infty \ frac1 {n} \ left (\ frac {m-1} {m + 1} \ right) ^ n =2 \ tanh ^ {- 1} \ frac {m-1} {m + 1} = \ ln m $ http://mathcache.appspot.com/?tex=%5cpng%5c%5b2%5Csum_%7Bn%3D1%2Cn%5Ctext%7B%20odd%7D%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac1%7Bn%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Bm-1%7D%7Bm%2b1%7D%5Cright%29%5En%20%3D%202%5Ctanh%5E%7B-1%7D%5Cfrac%7Bm-1%7D%7Bm%2b1%7D%20%3D%20%5Cln%20m%5c%5d

Кстати, лучше выделить ((x-1)/(x+1)) * ((x-1)/(x+1)), чтобы избежать его повторного вычисления.(Компилятор может или не может обработать это как инвариант цикла и удалить его.)

double ty = (x-1)/(x+1);
double p = ty * ty;
int i = 1;
double logx = 0;
do {
  logx += ty / i;
  tty = ty;
  ty *= p;
  i += 2;
} while (tty/(i-2) - ty/i > 5e-6);

Answer 2

Вы не должны делить на i и затем назначать на ty, делить на i после добавления, то есть logx = logx + ty / i.

Редактировать это должно работать:

i=1;   // (i.e. not 3)
logx = 0 ;
ty = (x-1)/(x+1) ;
do
{
    logx = logx + ty / i;
    tty = ty ;
    ty = (ty * ((x-1)/(x+1)) * ((x-1)/(x+1)));
    i = i + 2 ;
} while(tty - ty > 0.0000005 );

Answer 3

Ваша реализация C неверна для алгоритма.

log(m) base e = 2[ (m-1/m+1) + (1/3) * (m-1/m+1)^3 + (1/5) * (m-1/m+1)^5 + ... ]
                                ^^^ what is this      ^^^ and this

Ваш алгоритм:

i = 3;
logx = 0 ;
ty = (x-1)/(x+1) ;
do
{
    logx = logx + ty ;
    tty = ty ;
    ty = (ty * ((x-1)/(x+1)) * ((x-1)/(x+1))) / i ; 
//  ^^ when i = 3 ty after this line = ((x-1)/(x+1) * ((x-1)/(x+1))^2) / 3
//     when i = 5 ty after this line = ((((x-1)/(x+1)^3) / 3) * ((x-1)/(x+1))^2) / 5 
//                                   = ((x-1)/(x+1)^5) / 15 <<< wrong divisor (see above, should be 5)
//     and it gets worse for each iteration of the loop
    i = i + 2 ;
} while(tty - ty > 0.0000005 );
logx = 2*logx ;
printf("\n ln (%g) = %g \n", x, logx);

Answer 4

ISTR о том, что скорость сходимости логарифмических рядов заведомо низкая.

Answer 5

вы аппроксимируете функцию с конечным числом итераций (условие остановки tty-ty> ...); уменьшите 0,00000005 и получите лучшую точность

тогда вы можете столкнуться с проблемами числовой точности, поэтому попробуйте использовать double вместо float, если вы этого еще не сделали

наконец, помните, что, как правило, логарифмы являются иррациональными числами, поэтому они просто не могут быть представлены конечным числом цифр