как получить наилучшую приближенную дробь для вещественного числа в математике

Question

Если я хочу получить наилучшую приблизительную дробь / рациональное значение для заданного действительного числа и указанного максимального знаменателя в виде целого числа, как это сделать в Mathematica?Большое спасибо.

Answer 1

Конвергенты из непрерывные дроби предлагают полезный метод для получения лучшего и лучшего дробного представления иррационального числа.Я также нашел их полезными для понимания связей с другими идеями посредством евклидового алгоритма .

Давайте использовать конвергенты для аппроксимации пи и квадратного корня из двух.

ClearAll[approximate];

approximate[r_, nConvergents_: 8, precision_: 10] := 
   With[{c = Convergents[ContinuedFraction[r, nConvergents]]}, 
   TableForm[Transpose[{c, N[r - c, precision]}], 
   TableHeadings -> {None, {Row[{"approximation of ", r}], "error"}}]]

Вот первые 8 конвергентов для пи:

approximate[Pi]

Вот первые 8 конвергентов для Sqrt[2]:

approximate[Sqrt[2]]

Последовательные слагаемые ошибки сжимаются и изменяются по мере продвижения сходимости.

В approximate вы можете по желанию указать желаемое количество конвергентов и точность.

Наслаждайтесь.

---

Вот дополнительная документация о продолжающихся фракциях, включая некоторые прекрасные демонстрации.

Answer 2

Посмотрите на справку для Rationalize. RootApproximant может быть также полезно