Посмотрите - [Компоненты NSCalendar: fromDate:].
Дата сама по себе не имеет дня, потому что в разных календарях могут быть разные дни (григорианский, китайский и т.
РЕДАКТИРОВАТЬ: на самом деле, извините. Это то, что вы бы сделали, чтобы получить день и работать с ним программно. Если вы хотите отобразить только день, посмотрите на NSDateFormatter.