Вы не можете указать свой собственный формат, но в nginx встроено несколько уровней error_log-ing.
Синтаксис: error_log file [ debug | info | notice | warn | error | crit ]
По умолчанию: ${prefix}/logs/error.log
Указывает файл, в котором регистрируются ошибки сервера (и fastcgi).
Значения по умолчанию для уровня ошибки:
- в главном разделе - ошибка
- в разделе HTTP - крит
- в разделе сервера - крит
В моем error_log время всегда указывается в начале каждой строки ошибки в журнале.