Пара других изменений, которые мне пришлось сделать ...
Изменение конфигурации (обработчик должен отображаться на EventsWidget, а не на WidgetBase):
<system.web>
<httpHandlers>
<add verb="GET,HEAD" path="eventswidget.jss" type="Demo1.Handlers.EventsWidget, Demo1" validate="false" />
</httpHandlers>
</system.web>
EventsWidget.BuildOutput должен возвращать Javascript (в зависимости от того, как вы установили тег 'script' в Default.aspx):
Public Overrides Function BuildOutput() As String
Dim sOutput As String = "document.write('<br><b>Hello World</b>');"
Return sOutput
End Function