Нет, непроверенные исключения не сериализуются и не отправляются клиенту (браузеру). Невозможно сделать сериализованным каждое возможное исключение, так как компилятор не знает всех возможных исключений, которые могут быть сгенерированы, чтобы создать для них код JavaScript.
Вы должны зарегистрировать свое исключение на стороне сервера и отправить код ошибки клиенту. Если вам нужна трассировка стека на стороне клиента (это означает, что в браузере пользователя - что действительно необычно), вы должны сериализовать его вручную, например, зарегистрировав его в StringOutputStream.