Площадь пересечения двух кругов

Question

Дано два круга:

• C1 при (x1, y1) с radius1
• C2 при (x2, y2) с radius2

Как вы рассчитываете площадь их пересечения?Разумеется, доступны все стандартные математические функции (sin, cos и т. Д.).

Answer 1

Хорошо, используя ссылку Вольфрама и сигнал Мисномера, чтобы взглянуть на уравнение 14, я вывел следующее решение Java с использованием перечисленных мною переменных и расстояния между центрами (которое можно легко получить из них):

Double r = radius1;
Double R = radius2;
Double d = distance;
if(R < r){
    // swap
    r = radius2;
    R = radius1;
}
Double part1 = r*r*Math.acos((d*d + r*r - R*R)/(2*d*r));
Double part2 = R*R*Math.acos((d*d + R*R - r*r)/(2*d*R));
Double part3 = 0.5*Math.sqrt((-d+r+R)*(d+r-R)*(d-r+R)*(d+r+R));

Double intersectionArea = part1 + part2 - part3;

Answer 2

Вот функция JavaScript, которая делает именно то, что Крис был после:

function areaOfIntersection(x0, y0, r0, x1, y1, r1)
{
  var rr0 = r0 * r0;
  var rr1 = r1 * r1;
  var d = Math.sqrt((x1 - x0) * (x1 - x0) + (y1 - y0) * (y1 - y0));
  var phi = (Math.acos((rr0 + (d * d) - rr1) / (2 * r0 * d))) * 2;
  var theta = (Math.acos((rr1 + (d * d) - rr0) / (2 * r1 * d))) * 2;
  var area1 = 0.5 * theta * rr1 - 0.5 * rr1 * Math.sin(theta);
  var area2 = 0.5 * phi * rr0 - 0.5 * rr0 * Math.sin(phi);
  return area1 + area2;
}

Однако этот метод вернет NaN, если один круг полностью находится внутри другого, или они вообще не касаются. Немного другая версия, которая не терпит неудачу в этих условиях, выглядит следующим образом:

function areaOfIntersection(x0, y0, r0, x1, y1, r1)
{
  var rr0 = r0 * r0;
  var rr1 = r1 * r1;
  var d = Math.sqrt((x1 - x0) * (x1 - x0) + (y1 - y0) * (y1 - y0));

  // Circles do not overlap
  if (d > r1 + r0)
  {
    return 0;
  }

  // Circle1 is completely inside circle0
  else if (d <= Math.abs(r0 - r1) && r0 >= r1)
  {
    // Return area of circle1
    return Math.PI * rr1;
  }

  // Circle0 is completely inside circle1
  else if (d <= Math.abs(r0 - r1) && r0 < r1)
  {
    // Return area of circle0
    return Math.PI * rr0;
  }

  // Circles partially overlap
  else
  {
    var phi = (Math.acos((rr0 + (d * d) - rr1) / (2 * r0 * d))) * 2;
    var theta = (Math.acos((rr1 + (d * d) - rr0) / (2 * r1 * d))) * 2;
    var area1 = 0.5 * theta * rr1 - 0.5 * rr1 * Math.sin(theta);
    var area2 = 0.5 * phi * rr0 - 0.5 * rr0 * Math.sin(phi);

    // Return area of intersection
    return area1 + area2;
  }
}

Я написал эту функцию, прочитав информацию, найденную на Математическом форуме . Я нашел это более ясным, чем объяснение Wolfram MathWorld .

Answer 3

Возможно, вы захотите проверить это аналитическое решение и применить формулу со своими входными значениями.

Другая формула, указанная здесь -

Area = r^2*(q - sin(q))  where q = 2*acos(c/2r),
where c = distance between centers and r is the common radius.