Суть ответа в том, что вам нужно как-то передать токен аутентификации на сайт php.То, как вы можете это сделать, отличается.Например, вы можете написать веб-сервис поверх веб-сайта rails, который веб-сайт php будет использовать для проверки предоставленных учетных данных пользователя.
Другой способ - управлять подключением с веб-сайта php к базе данных веб-сайта rails и писатькопия логики аутентичной аутентификации в php.Это не займет много времени.
В Rails db вы должны работать со следующими полями таблицы пользователей: логин (электронная почта), пароль, соль, persistence_token.