Это зависит от конфигурации контейнера. В общем случае конфигурация SSL контейнера не будет доступна сервлету, который он содержит. Например, в Apache Tomcat конфигурация SSL этого коннектора может быть полностью независимой от настроек, доступных сервлету. (Кроме того, SSL может обрабатываться, например, APR или интерфейсом Apache Httpd, что не имеет большого отношения к конфигурации хранилища ключей Java).
Вы, вероятно, сможете получить доступ к хранилищу ключей, если они настроены с использованием свойств javax.net.ssl.*. Однако это не обязательно способ настройки SSLContext разъема сервера. Обычно не рекомендуется передавать эти параметры в командной строке в производственной среде.
То, что вы можете сделать, это загрузить хранилище ключей, используемое контейнером, из вашего сервлета, но вы должны заранее знать, где он находится. Кроме того, я бы предположил, что служба хостинга будет запускать Tomcat с включенным менеджером безопасности, что может помешать вам сделать это.
Обратите внимание, что вы можете использовать свое собственное хранилище ключей, поставляемое в вашем веб-приложении (его можно даже загрузить из classpath как поток ресурсов). Будет ли это хранилище ключей содержать тот же закрытый ключ, что и используемый SSL-уровнем сервера, решать администраторам сервера (если они позволят вам его получить).