Я полагаю, что ваш ответ можно найти в этом предыдущем вопросе: Форматирование NSDate в конкретные стили для года, месяца, дня и часа, минуты, секунды
Просто возьмите дату, которую вы вернули из DatePicker, и получите только день, используя NSDateFormatter:
NSDateFormatter *dateFormat = [[NSDateFormatter alloc] init];
[dateFormat setDateFormat:@"yyyy-MM-dd"];
NSString *theDate = [dateFormat stringFromDate:pickerDate];
[dateFormat release];