Используя jQuery, вы можете сделать это следующим образом:
$(document).ready(function() {
$("#t_area").keypress(function(event) {
if(event.which == '13') {
return false;
}
});
});
<textarea id="t_area"></textarea>
Я бы также удалил любые переводы строк, используя PHP или ASP или любой другой язык сценариев на стороне сервера, к которому у вас есть доступ, чтобы быть полностью тщательным.