Я решил использовать библиотеку. Получилось довольно легко работать с предоставленными классами:
Сначала я должен был создать объект WlanClient
wlan = new WlanClient();
И тогда я могу получить список SSID, к которым подключен ПК, с помощью этого кода:
Collection<String> connectedSsids = new Collection<string>();
foreach (WlanClient.WlanInterface wlanInterface in wlan.Interfaces)
{
Wlan.Dot11Ssid ssid = wlanInterface.CurrentConnection.wlanAssociationAttributes.dot11Ssid;
connectedSsids.Add(new String(Encoding.ASCII.GetChars(ssid.SSID,0, (int)ssid.SSIDLength)));
}