Не знаю, как это сделать с Tidy, но вы можете использовать DOM
$dom = new DOMDocument; // init new DOMDocument
$dom->loadHTML($html); // load HTML into it
$xpath = new DOMXPath($dom); // create a new XPath
$nodes = $xpath->query('//body/style'); // Find all style elements in body tag
foreach($nodes as $node) { // Iterate over found elements
$node->parentNode->removeChild($node); // Remove complete style node
}
echo $dom->saveHTML(); // output cleaned HTML
Для элементов <link>
установите Xpath на //body/link
.