$(function() {
$("#dropdown").change(function() {
var val = $(this).val();
if(val == 'other') {
$('input[name="other"]').show();
} else {
$('input[name="other"]').hide();
}
}).change();
});
Обновлен. как предложено box9, так как вы хотите, чтобы функция запускалась при загрузке страницы.