возможно ли программно получить доступ к веб-сайту, который в данный момент отображается в браузере Android?
Это было бы нарушением безопасности, так что нет. Также имейте в виду, что есть несколько веб-браузеров для Android.
Насколько я знаю, нативный браузер не обрабатывает плагины (исправьте меня, если я ошибаюсь)
Стандартное приложение для браузера поддерживает плагины, но не загружаемые на лету. Так, например, он поддерживает плагин Flash (на Android 2.2+), но сначала необходимо установить Flash отдельно.