Прежде всего, я хотел бы предложить использовать какой-нибудь пакет единого входа для объединения сайтов.Это позволило бы обоим сайтам обмениваться аутентификационной информацией и избавило бы от необходимости входить / выходить из каждого сайта отдельно.Это больше работы, но это правильный способ решить эту проблему.
Если это невозможно, ваша идея get / post должна работать, хотя вы, вероятно, не сможете заставить ее работать набольше, чем два сайта у вас сегодня.Скорее всего, это просто плохой URL или что-то в этом роде.
Вы также можете попробовать заменить ваш javacript get чем-то вроде
window.location = "http://my-other-site.com/logout-url"