Это действительно так, потому что
CookieContainer cookie = new CookieContainer();
Вы ничего не положили в свой контейнер для печенья.
Используйте метод Add, чтобы поместить фактические значения в cookie
container.Add(new Uri("http://yoursite"), new Cookie("name", "value"));
и отправьте сообщение снова.