Попробуйте изменить
<input type="email" name="email" />
что-то вроде
<input type="email" name="my_theme_email" />
Сделайте то же самое со всеми вашими полями, похоже, что некоторые имена зарезервированы в WordPress при отправке данных формы. У меня та же проблема, и я исправил ее вот так. После этого используйте метод POST и, возможно, создайте do_action () для добавления проверки поля. и используйте wp_mail
для отправки электронного письма, также $_POST['']