Вы можете войти на один из своих старых хостов, используя соединение SSH, затем подключиться оттуда к новому хосту, снова используя соединение SSH, а затем загрузить все файлы со своего первого сервера на второй. Для баз данных сделайте дамп данных на вашем первом сервере и через соединение SSH запустите дамп данных для базы данных на вашем новом сервере.
В зависимости от хостов способ подключения через SSH будет отличаться, но у поставщиков должны быть инструкции. Если вы не можете найти направления, просто напишите в службу поддержки и спросите.