Если пользователь предоставит свои данные для входа в систему (имя пользователя и пароль), вам просто нужно предоставить возможность ввести их в свое приложение, например, показать диалог, запрашивающий эти детали. Затем вы можете использовать эти значения, которые дает пользователь, для построения строки соединения в вашем коде.
В качестве альтернативы, если все ваши пользователи будут использовать одну учетную запись SQL для подключения, вы можете поместить строку подключения в файл app.config с использованием шифрования, если хотите скрыть ее от своих пользователей, см. Ответ cmsjr пример того, как это сделать.
В качестве альтернативы, если вы разрабатываете это во внутреннем домене (интрасети), переключите базу данных на интегрированную защиту и поместите учетные записи пользователей в соответствующую группу доступа на сервере базы данных. Тогда вам не придется беспокоиться о сборе имени пользователя или пароля.