Каждый SwingWorker разработан, чтобы быть выполненным один раз, как вы говорите. В этом отношении каждый объект представляет одно выполнение.
Таким образом, один действительный (и, вероятно, самый простой) способ сделать то, что вам нужно, - это создавать новый SwingWorker для каждого нажатия кнопки «Пуск», если вы действительно хотите порождать еще один экземпляр действия каждый раз .