Есть ли в скайпе API, из которого можно было бы создать плагин для браузера, чтобы при входе в скайп он сообщал текущей веб-странице о том, что есть звонок (с информацией об идентификаторе звонящего)
Я думаю, что вы ищете Аксессуары Skype (Skype Public API) .
Аксессуары Skype расширяют возможности Skype для пользователей Skype. Это могут быть аппаратные продукты или программные приложения, но все они созданы разработчиками, которые используют Skype Public API, текстовый протокол, для взаимодействия с программным обеспечением Skype.
Для этого не существует серверного решения, которое бы не нарушало TOS Skype (вход в сеть Skype с использованием учетных данных пользователя).