Этого можно добиться с помощью контекстного меню, кнопки или связывания клавиш (Ctrl + C)
Если у вас готов контент ListBoxItem в вашей модели представления, то в команде, инициированной одним из вышеупомянутых, скажем
Clipboard.SetData(DataFormats.Text, (Object)contentOfListBoxItem);
Это скопирует contentOfListBoxItem в буфер обмена