Я не знаю, почему я вижу такое различное поведение, но благодаря другим я получил правильное направление, но «начало» и «конец» - это объекты moment (). Таким образом, чтобы получить актуальную дату, вам нужно использовать:
$('calendar').fullCalendar("getView").start.format()
$('calendar').fullCalendar("getView").end.format()
Работает точно так, как мне нужно, и то, что спросил ОП. ПРИМЕЧАНИЕ. Дата окончания - один день после календаря. То есть календарь, на который я смотрю, начинается в воскресенье 31.07.16 и заканчивается в субботу 9.10.16 - и указанная дата - 2016-07-31 и 2016-09-11 (один день после даты показанный технически - конечно, если вы скажете «00:00:00» тех дней, вы будете точны).