Я использую этот учебник для интеграции Twitter с приложением iOS ссылка
Для выхода из системы я использую следующее:
[_engine clearAccessToken];
_engine - это экземпляр класса SA_OAuthTwitterEngine
Вы можете вызвать этот метод в своем методе IBAction.
Также нужен этот метод
NSUserDefaults *defaults = [NSUserDefaults standardUserDefaults];
[defaults removeObjectForKey:@"authData"];
[defaults synchronize];