Рабочее, но ни быстрое, ни надежное решение не будет:
SELECT foo
FROM bar
WHERE CONCAT(firstname, ' ', lastname) = $search_name
(Не уверен насчет синтаксиса MySQL CONCAT atm, вам может потребоваться выполнить конкататацию дважды)
Существует высокая вероятность того, что при этом не будут использоваться какие-либо индексы, что сильно замедлит поиск.
Лучшим решением было бы просто разделить имя:
$names = explode(' ', $search_name);
SELECT foo
FROM bar
WHERE firstname = $names[0]
AND lastname = $names[1]
Еще лучше:
Укажите два поля ввода и укажите их имя и фамилию, чтобы пользователи правильно вводили результаты поиска.