Нет, я не думаю, что есть что-то, что автоматически вызовет сторону клиента в вашем пользовательском управлении. Я реализовывал нечто подобное в прошлом, включив некоторую функцию клиентского скрипта из моего пользовательского элемента управления, а затем вручную вызвав ее в OnClientClick из asp:Button.
Единственная проблема, связанная с этим решением, заключается в том, что оно не является «автоматическим», и любая страница, использующая ваш пользовательский элемент управления, должна знать об этом. Также в зависимости от вашего случая захват всех типов «представлений» (при условии, что вы также имеете в виду PostBack) может быть немного громоздким.