Есть ли способ автоматического добавления вкладки приложения на страницу профиля пользователя после его установки?
Нет.Если бы вы могли, тогда бы все это делали, и вкладки становились бесполезными.Тем более что вы можете одновременно отображать только 3 вкладки.Вы можете создать кнопку, чтобы пользователю было проще добавлять ее в качестве вкладки.
http://wiki.developers.facebook.com/index.php/Fb:add-profile-tab