Чтобы удалить файл cookie с помощью JQuery, установите значение NULL:
$.cookie("name", null, { path: '/' });
Редактировать: Окончательным решением было явное указание свойства path
при каждом обращении к файлу cookie,потому что OP обращается к cookie с нескольких страниц в разных каталогах, и поэтому пути по умолчанию были другими (это не было описано в исходном вопросе).Решение было найдено в обсуждении ниже, которое объясняет, почему этот ответ был принят - несмотря на то, что он не был правильным.
Для некоторых версий jQ cookie решение выше установит для cookie строку null.Таким образом, не удаляя куки.Вместо этого используйте код, предложенный ниже.
$.removeCookie('the_cookie', { path: '/' });