Вы должны быть в состоянии сделать это с помощью Notification и NotificationManager. Однако получить гарантированный способ узнать, когда ваше приложение не работает, - сложная задача.
Вы можете получить базовую функциональность того, что вы хотите, сделав что-то вроде:
Notification notification = new Notification(R.drawable.your_app_icon,
R.string.name_of_your_app,
System.currentTimeMillis());
notification.flags |= Notification.FLAG_NO_CLEAR
| Notification.FLAG_ONGOING_EVENT;
NotificationManager notifier = (NotificationManager)
context.getSystemService(Context.NOTIFICATION_SERVICE);
notifier.notify(1, notification);
Этот код должен быть где-то, где вы точно будете запущены при запуске вашего приложения. Возможно, в методе onCreate () пользовательского объекта приложения.
Однако после этого все сложно. Убийство приложения может произойти в любое время. Поэтому вы можете попытаться поместить что-то в onTerminate () класса Application, но это не гарантированно будет вызвано.
((NotificationManager)context.getSystemService(Context.NOTIFICATION_SERVICE)).cancel(1);
будет тем, что нужно для удаления значка.