Это будет ошибка безопасности.
Единственный способ сделать это - узнать путь к профилю пользователя Firefox.Вы можете ссылаться на эти файлы и использовать onload, чтобы выяснить, существуют ли они.
Но вам придется попросить пользователя указать путь, и вы, вероятно, столкнетесь с междоменными проблемами.