Я не думаю, что Binding Path=local:MainWindow.SearchPlayer
будет работать, потому что MainWindow - это класс, а не экземпляр. Это может сработать, если SearchPlayer был статичным, но я не думаю, что вы этого хотите.
Просто используйте Binding Path=SearchPlayer
и убедитесь, что DataContext установлен правильно. В конструкторе MainWindow: this.DataContext=this;
(зависит от того, где находится текстовое поле).
И обратите внимание, что MainWindow должен реализовывать интерфейс INotifyProperty, а установщик SearchPlayer должен вызывать OnPropertyChanged.