Что бы ваш синглтон делал точно?
Одно из преимуществ таких библиотек, как NLog (и log4j и т. Д.), Заключается в том, что при входе в систему он регистрируется с помощью соответствующего регистратора классов -Это означает, что вы можете настроить запись в журнал соответствующим образом.Если бы у вас был какой-то синглтон только с одним экземпляром Logger, вы бы сразу потеряли это преимущество.Я бы порекомендовал вам использовать технику, показанную в документации, где каждый класс имеет свой собственный регистратор.
Что касается выдачи имени класса и т. Д., Посмотрите на страницу рендеринга макетов на странице документов,у которого есть много опций: {callsite} и {threadid} могут быть тем, что вы ищете.