Для меня изменение свойств .frame или .contentInset не сработало.
Для меня лучший результат получился:
1) добавление UIView к контроллеру, округление углов и границы для имитации UITextView.
self.viewTextBackground.layer.borderColor = [UIColor colorWithRed:171/255.0 green:171/255.0 blue:171/255.0 alpha:1.0].CGColor;
self.viewTextBackground.layer.borderWidth = 1.0f;
self.viewTextBackground.layer.cornerRadius = 9.0f;
2) поместите UITextView поверх этого UIView. Разместите его так, чтобы границы нижележащего UIView оставались видимыми.
3) дать UITextView круглые углы:
self.textNote.layer.cornerRadius = 9.0f;
3) Сделать его шириной fe. На 30 пикселей меньше по сравнению с базовым UIView. Теперь у вас есть место для кнопки очистки.
4) просто добавьте кнопку UIB к контроллеру и поместите ее в верхний правый угол нижележащего UIView.
5) измените свойства кнопки: установите ее тип на «пользовательский» и установите для ее изображения изображение серого креста.
6) привязать действие к кнопке, чтобы очистить UITextView