Android поставляется с http-библиотекой apache commons.Настроить пост-запрос https довольно просто:
HttpPost post = new HttpPost("https://yourdomain.com/yourskript.xyz");
List<NameValuePair> nameValuePairs = new ArrayList<NameValuePair>(2);
nameValuePairs.add(new BasicNameValuePair("postValue1", "my Value"));
nameValuePairs.add(new BasicNameValuePair("postValue2", "2nd Value"));
post.setEntity(new UrlEncodedFormEntity(nameValuePairs));
HttpClient client = new DefaultHttpClient();
HttpResponse response = client.execute(post);
HttpEntity entity = response.getEntity();
String responseText = EntityUtils.toString(entity);
Android использует версию 4.x библиотеки http commons, поскольку все версии ниже 4.0 находятся вне жизненного цикла.
Я могуне скажу точно, как зарегистрировать самозаверяющий сертификат в HttpClient, но mybe commons http документация помогает:
http://hc.apache.org/httpcomponents-client-ga/tutorial/html/connmgmt.html#d4e506