Я не думаю, что какой-либо стандартный протокол, такой как FTP или HTTP, поддерживает это, но, возможно, вы могли бы подумать об интеграции однорангового, BitTorrent-подобного метода обмена.
Ваш сервер будет просто выступать в качестве другого узла, пока файл не будет полностью загружен на сервер, после чего сервер будет работать как любой другой файловый сервер.
РЕДАКТИРОВАТЬ: (поскольку я пока не могу комментировать вопрос, я буду комментировать здесь) На самом деле, вы можете смотреть видео, пока BitTorrent все еще загружает его. Клиент µTorrent даже позволяет это по умолчанию. Он устанавливает приоритеты для первых фрагментов файла, поэтому вы можете просматривать первые фрагменты, пока один из них не будет пропущен.