Я не думаю, что есть какой-то встроенный способ сделать это, а это значит, что вам нужно написать какой-то собственный код сериализации. JsonDeserialize - это, вероятно, то место, с которого вы хотите начать.
Вам также нужно убедиться, что код, который использует JSON, знает, как работать с двумя альтернативными форматами - и это целый отдельный беспорядок. На самом деле, возможно, имеет смысл просто отправлять временные метки в неотформатированном виде (я думаю, что по умолчанию это запись в виде количества миллисекунд с начала эпохи) и обеспечение надлежащего форматирования клиентского кода перед его отображением пользователю.