Сервер не может читать данные из буфера обмена клиента. Так что, если вы имеете в виду то, что пользователь имеет в своем буфере обмена (на сервере): это невозможно. Вы можете быть в состоянии сделать некоторые вещи с помощью JavaScript, но тогда ASP.NET становится в значительной степени неактуальным как деталь.
В качестве альтернативы, сформулируйте это так: вы когда-нибудь видели, чтобы это было сделано?
Обычно, чтобы веб-сайт мог что-то делать с нетекстовыми данными, необходимо использовать элемент управления файлом / загрузки (Обзор ...) для отправки данных на сервер. Возможно, вы захотите изучить этот вариант.
Если вам нужно больше энергии на клиенте, рассмотрите Silverlight, Flash, ClickOnce и т. Д. (Но старайтесь избегать OCX - это мертвая технология).