вы имеете дело не со строкой, а с объектом json. Вы пытаетесь оценить объект json как строку для создания объекта json.
var personJSON =
'{"FirstName":"Burak","LastName":"Ozdogan","Id":"001","Department":"Information Technologies"}';
var personBurakOzdogan = eval('(' + personJSON + ')');
это должно работать, хотя это не имеет особого смысла. это имеет больше смысла:
var personBurakOzdogan = {"FirstName":"Burak","LastName":"Ozdogan","Id":"001","Department":"Information Technologies"};