Чтобы сравнить только часть даты, самое простое, что нужно сделать, это
int cmp = date1.substring(0, 10).compareTo(date2.substring(0,10));
Вам не нужно преобразовывать их в объект с истинной датой, поскольку строки будут в том же порядке. Это похоже на ответ @ Родиона, за исключением того, что он будет сравнивать время.
Если для вас важна производительность, я предлагаю оставить строки в виде строк, конвертировать их в объект даты относительно дорого.