Чтобы передать значения элемента управления "txtSearch", когда выполняется Server.Transfer, вы можете сделать много вещей, в том числе передать его через переменную строки запроса или настроить переменную сеанса, а затем проверить любой из них в событие Page_Load в Search.aspx и, если оно заполнено, вызовите событие, которое вызывается, когда пользователь нажимает кнопку отправки на странице Search.aspx.
Кроме того, если файл Search.aspx использует ту же главную страницу, то вы можете использовать this.Master.FindControl ("txtSearch"), чтобы получить элемент управления (если вы просматриваете источник файла после его создания в В браузере вы заметите, что элементы управления на главной странице на самом деле не вызываются по их идентификатору, скорее, к ним добавлено что-то (то есть теперь это можно было бы назвать "ctl00_txtSearch")